《勾股定理——悠悠4000年的故事》（2023寒假数学作业）

![](book.jpg)
# 《勾股定理——悠悠4000年的故事》
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本书以勾股定理为线索，梳理了科学历史上一些重要的事件、发明和发现的来龙去脉，把欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何以及爱因斯坦的相对论串成一条逻辑清晰的演变轨迹。

声明：对于我来说，只能理解到微积分，无法继续向后，在此只讨论第10章之前的内容（P158及之前）。
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## 第一章 美索不达米亚，公元前1800年

**YBC7289**通过**巴比伦人**计算平方根说明了他们掌握了**初等几何**，

而**普林顿322**说明了**巴比伦人**还掌握了**代数过程**

## 第二章 毕达哥拉斯

毕达哥拉斯通过研究物体体积越大，声音越低的特性，把自然现象进行精确的数量表示，在某种意义上标志着数学物理的开始。

他通过和弦认为数字比率支配着音乐和弦定律，乃至整个宇宙。

毕达哥拉斯学派研究数（正整数），这播散了数学的种子。

毕达哥拉斯的信徒发明了一种以各种图形的相互关联为基础的原始代数，这类几何代数是现代符号代数的先驱。

例：

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

![几何代数例]((a+b)^2.png)

## 第三章 欧几里得的《几何原本》

《几何原本》共计13卷，第一卷包括 $10$ 条公理（$5$ 公设+$5$ 公理），$48$ 个定理（命题）

利用命题47（在直角三角形中，直角的对边上的正方形等于包含这个直角的两条边上的正方形）、命题38（有相等的底且在相同平行线内的三角形相等）证明了勾股定理。

详见[欧几里得证明链接](https://zhuanlan.zhihu.com/p/371547237)

## 第四章 阿基米德

他为了计算 $\pi$ 的值，把一个圆放在一个内接多边形与外接多边形之间，计算周长，得到更加接近 $\pi$ 的值，他的方法是反复使用勾股定理。

计算 $\pi$ 方法的证明过程：

![way1](way1.jpg)

![way2](way2.jpg)

计算结果为：

|   n   |   内接 n 边形   |  外接 n 变形  |
|------|----------------|----------------|
|   3   |      2.59808     |    5.19615     |
|   6   |      3.00000     |    3.46410     |
|  12  |      3.10583     |    3.21539     |
|  24  |      3.13263     |    3.15966     |
|  48  |      3.13935     |    3.14609     |
|  96  |      3.14103     |    3.14271     |
| 192 |      3.14145     |    3.14187     |

## 第五章 翻译者和注视者， 500-1500年

丢番图遗留下来的《算数》中有对更高次的多变量方程的解答，比如卷III命题19证明了 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2$

阿基米德时代出现了埃拉托塞尼、希帕科斯、托勒密三位令人瞩目的应用数学家。

帕普斯为《几何原本》做了注释，在他的《数学汇编》中有两个他自己发现的定理，一个在卷VII中，另一个在卷IV中。

在《周髀算经》中有一个勾股定理的割补证明：

![勾股证明3](chineseWay.jpg)

## 第六章 弗兰索瓦·韦达创造历史

韦达在1593年将 $\frac{2}{\pi}$ 表示成无穷乘积

$\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}...$

## 第七章 从无穷大到无穷小

在微积分中，我们有勾股定理的微分形式 $ds^2=dx^2+dy^2$

可以借此计算曲线的长度 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$

$\therefore s=\int_a^bds=\int_a^b\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx$

我能看懂的极限至此
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